十字链表实现矩阵加法(附带c语言实现代码)-百家乐凯发k8

矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。

在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：

图1 矩阵相加

十字链表法

之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。

采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。

十字链表法表示矩阵

例如，用十字链表法表示矩阵 a ，为：

图2 矩阵用十字链表法表示

由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中

图 2 中：存储行链表的数组称为 rhead 数组；存储列链表的数组称为 chead 数组。

十字链表中的结点

从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：

图3 十字链表中的结点

指针域a存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址（称为 “down域”）；
指针域b存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；

用结构体自定义表示为：

typedef struct olnode
{
    int i,j,e;                      //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据
    struct olnode *right,*down;     //指针域 右指针 下指针
}olnode,*olink;

十字链表的结构

使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。

所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：

typedef struct
{
    olink *rhead,*chead;            //存放各行和列链表头指针的数组
    int mu,nu,tu;                   //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}crosslist;

十字链表存储矩阵三元组

由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。

判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。

首先判断该数据元素 a（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：

如果 a 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 b 的 j 值小，说明该数据元素在元素 b 的左侧，这时 a 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
如果 a 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 b 的 j 值大，说明 a 在 b 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。

对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 a 在对应列的位置：

如果 a 的行标比该列第一个非 0 元素 b 的行标 i 值还小，说明 a 在 b 的上边，这时 a 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
反之，说明 a 在 b 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。

实现代码：

//创建系数矩阵m,采用十字链表存储表示
crosslist creatematrix_ol(crosslist m)
{
    int m,n,t;
    int i,j,e;
    olnode *p,*q;//定义辅助变量
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);  //输入矩阵的行列及非零元的数量
    //初始化矩阵的行列及非零元的数量
    m.mu=m;
    m.nu=n;
    m.tu=t;
    if(!(m.rhead=(olink*)malloc((m 1)*sizeof(olink)))||!(m.chead=(olink*)malloc((n 1)*sizeof(olink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0);      //初始化矩阵的行列链表
    }
    for(i=1;i<=m;i  )
    {
        m.rhead[i]=null;   //初始化行
    }
    for(j=1;j<=n;j  )
    {
        m.chead[j]=null;   //初始化列
    }
    for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束
    {
        if(!(p=(olnode*)malloc(sizeof(olnode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0);                 //动态生成p
        }
        p->i=i;
        p->j=j;
        p->e=e;                             //初始化p
        if(null==m.rhead[i]||m.rhead[i]->j>j)
        {
            p->right=m.rhead[i];
            m.rhead[i]=p;
        }
        else
        {
            for(q=m.rhead[i];(q->right)&&q->right->jright);
            p->right=q->right;
            q->right=p;
        }
       
        if(null==m.chead[j]||m.chead[j]->i>i)
        {
            p->down=m.chead[j];
            m.chead[j]=p;
        }
        else
        {
            for (q=m.chead[j];(q->down)&& q->down->idown);
            p->down=q->down;
            q->down=p;
        }
    }
    return m;
}

十字链表解决矩阵相加问题

在解决 “将矩阵 b 加到矩阵 a ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 b 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 a 中相对应的位置，有三种情况：

提取到的 b 中的三元组在 a 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 a 该行链表的对应位置上；
提取到的 b 中三元组在 a 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 a 中对应位置上的三元组的值即可；
提取到的 b 中三元组在 a 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 a 中对应结点。

提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 b 中的非 0 元素，然后判断矩阵 a 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。

设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 a 和矩阵 b 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：

当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == null （说明矩阵 a 该行没有非 0 元素），两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 a 中。
当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
当 pa 的列值 j == pb 的列值 j，且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 a 的十字链表中删除 pa 指向的结点。

实现代码：

crosslist add**atrix(crosslist m,crosslist n){
    olnode * pa,*pb;//新增的两个用于遍历两个矩阵的结点
    olink * hl=(olink*)malloc(m.nu*sizeof(olink));//用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。
    olnode * pre=null;//用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点
    //遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素
    for (int j=1; j<=m.nu; j  ) {
        hl[j]=m.chead[j];
    }
    //按照行进行遍历
    for (int i=1; i<=m.mu; i  ) {
        //遍历每一行以前，都要pa指向矩阵m当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵n
        pa=m.rhead[i];
        pb=n.rhead[i];
        //当pb为null时，说明矩阵n的当前行的非0元素已经遍历完。
        while (pb!=null) {
            //创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。（复制的目的就是排除指针域的干扰）
            olnode * p=(olnode*)malloc(sizeof(olnode));
            p->i=pb->i;
            p->j=pb->j;
            p->e=pb->e;
            p->down=null;
            p->right=null;
           
            //第一种情况
            if (pa==null||pa->j>pb->j) {
                //如果pre为null，说明矩阵m此行没有非0元素
                if (pre==null) {
                    m.rhead[p->i]=p;
                }else{//由于程序开始时pre肯定为null，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边
                    pre->right=p;
                }
                p->right=pa;
                pre=p;
                //在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置
                if (!m.chead[p->j]||m.chead[p->j]->i>p->i) {
                    p->down=m.chead[p->j];
                    m.chead[p->j]=p;
                }else{
                    p->down=hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down=p;
                }
                //更新hl中的数据
                hl[p->j]=p;
            }else{
                //第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue
                if (pa->jj) {
                    pre=pa;
                    pa=pa->right;
                    continue;
                }
                //第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题
                if (pa->j==pb->j) {
                pa->e =pb->e;
                //如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间
                if (pa->e==0) {
                    if (pre==null) {
                        m.rhead[pa->i]=pa->right;
                    }else{
                        pre->right=pa->right;
                    }
                    p=pa;
                    pa=pa->right;
                    if (m.chead[p->j]==p) {
                        m.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
                    }else{
                        hl[p->j]->down=p->down;
                    }
                    free(p);
                    }
                }
            }
            pb=pb->right;
        }
    }
    //用于输出矩阵三元组的功能函数
    display(m);
    return m;
}

完整代码演示

#include
#include
typedef struct olnode
{
    int i,j,e;                      //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据
    struct olnode *right,*down;     //指针域 右指针 下指针
}olnode,*olink;
typedef struct
{
    olink *rhead,*chead;            //行和列链表头指针
    int mu,nu,tu;                   //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}crosslist;
crosslist creatematrix_ol(crosslist m);
crosslist add**atrix(crosslist m,crosslist n);
void display(crosslist m);
void main()
{
    crosslist m,n;
    printf("输入测试矩阵m:\n");
    m=creatematrix_ol(m);
    printf("输入测试矩阵n:\n");
    n=creatematrix_ol(n);
    m=add**atrix(m,n);
    printf("矩阵相加的结果为:\n");
    display(m);
}
crosslist creatematrix_ol(crosslist m)
{
    int m,n,t;
    int i,j,e;
    olnode *p,*q;
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);
    m.mu=m;
    m.nu=n;
    m.tu=t;
    if(!(m.rhead=(olink*)malloc((m 1)*sizeof(olink)))||!(m.chead=(olink*)malloc((n 1)*sizeof(olink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0);
    }
    for(i=1;i<=m;i  )
    {
        m.rhead[i]=null;
    }
    for(j=1;j<=n;j  )
    {
        m.chead[j]=null;
    }
    for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e))    {
        if(!(p=(olnode*)malloc(sizeof(olnode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0);
        }
        p->i=i;
        p->j=j;
        p->e=e;
        if(null==m.rhead[i]||m.rhead[i]->j>j)
        {
            p->right=m.rhead[i];
            m.rhead[i]=p;
        }
        else
        {
            for(q=m.rhead[i];(q->right)&&q->right->jright);
            p->right=q->right;
            q->right=p;
        }
       
        if(null==m.chead[j]||m.chead[j]->i>i)
        {
            p->down=m.chead[j];
            m.chead[j]=p;
        }
        else
        {
            for (q=m.chead[j];(q->down)&& q->down->idown);
            p->down=q->down;
            q->down=p;
        }
    }
    return m;
}
crosslist add**atrix(crosslist m,crosslist n){
    olnode * pa,*pb;
    olink * hl=(olink*)malloc(m.nu*sizeof(olink));
    olnode * pre=null;
    for (int j=1; j<=m.nu; j  ) {
        hl[j]=m.chead[j];
    }
    for (int i=1; i<=m.mu; i  ) {
        pa=m.rhead[i];
        pb=n.rhead[i];
        while (pb!=null) {
            olnode * p=(olnode*)malloc(sizeof(olnode));
            p->i=pb->i;
            p->j=pb->j;
            p->e=pb->e;
            p->down=null;
            p->right=null;
            if (pa==null||pa->j>pb->j) {
                if (pre==null) {
                    m.rhead[p->i]=p;
                }else{
                    pre->right=p;
                }
                p->right=pa;
                pre=p;
                if (!m.chead[p->j]||m.chead[p->j]->i>p->i) {
                    p->down=m.chead[p->j];
                    m.chead[p->j]=p;
                }else{
                    p->down=hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down=p;
                }
                hl[p->j]=p;
            }else{
                if (pa->jj) {
                    pre=pa;
                    pa=pa->right;
                    continue;
                }
                if (pa->j==pb->j) {
                pa->e =pb->e;
                if (pa->e==0) {
                    if (pre==null) {
                        m.rhead[pa->i]=pa->right;
                    }else{
                        pre->right=pa->right;
                    }
                    p=pa;
                    pa=pa->right;
                    if (m.chead[p->j]==p) {
                        m.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
                    }else{
                        hl[p->j]->down=p->down;
                    }
                    free(p);
                    }
                }
            }
            pb=pb->right;
        }
    }
    display(m);
    return m;
}
void display(crosslist m){
    printf("输出测试矩阵:\n");
    printf("m:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");
    for (int i=1;i<=m.nu;i  )
    {
        if (null!=m.chead[i])
        {
           olink p=m.chead[i];
            while (null!=p)
            {
                printf("%d\t%d\t%d\n",p->i,p->j,p->e);
                p=p->down;
            }
        }
    }
}

运行结果：

输入测试矩阵m:
3 3 3
1 2 1
2 1 1
3 3 1
0 0 0
输入测试矩阵n:
3 3 4
1 2 -1
1 3 1
2 3 1
3 1 1
0 0 0
矩阵相加的结果为:
输出测试矩阵:
m:
---------------------
i j e
---------------------
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2 3 1
3 3 1

总结

使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非0元素的个数。